Funciones

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.

Una función puede representarse de diversas formas: mediante un algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen, o como una grafica que dé una imagen de la función.

tipos de funciones

funcion de identidad: dado un conjunto A, la función identidad de A es la función id_A : A → A que a cada a ∈ A le asocia id_A(a) = a.

funcion inversa: Dada una función f : A → B, se dice que g : B → A es la inversa o recíproca de f si se cumple:

                     f o g = id b
                     g o f = id a

La inversa se denota por g = f⁻¹, y tanto f como f⁻¹ se dicen invertibles.

funcion lineal: esta es una funcion polinomial de grado 1, se representa mediante una linea recta y se denota: f(x) = mx + b donde m y b son constantes reales.

funcion cuadratica:  es una funcion polimonial de grado 2, y esta denotada f(x)= ax^2 + bx + c

traslaciones horizontales y verticales

si c > 0 

y = f(x) + c traslada la grafica c unidades hacia arriba.

y = f(x) - c traslada la grafica c unidades hacia abajo.

y = f(x - c) traslada la grafica c unidades hacia la derecha.

y = f(x + c) traslada la grafica c unidades hacia la izquierda.

funcion cúbica: f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d  

 donde "a" debe ser ≠ de 0

Derivadas

esta se define como el límite del cociente de la variación de una función con respecto a la variación de una o varias variables, cuando la variación en la varible o las variables tiende a cero. en esta se usa el simbolo ( ' ) cuya pronunciacion seria "prima".

Técnicas de derivación

*derivada de una funcion constante: esta es igual a cero.

ejemplo: si f(x)= 2 entonces, f '(x)= 0

*derivada de la suma y la diferencia: para esta tenemos que si g(x) = f(x) + q(x) entoces quedaria           g '(x) = f '(x) + q'(x)

*derivada de un producto: si tenemos g(x) = f(x) . q(x)  esto quedaria 

g'(x) = f '(x) . q(x) + f(x) . q'(x)

*derivada de la funcion de identidad: supongamos que tenemos la funcion f(x) = X, su resultado seria f '(x) = 1

*derivada de una potencia: tenemos f(x) = X^n  donde "n" es un número de la recta real IR, entonces f '(x) = nX^n-1.

*derivada de un cociente: 

g(x)=  f(x)

         ̅ q(x) ̅

 entonces,   g '(x)= f '(x) . q(x) - f(x) . q'(x) 

                               ̅  ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ [q(x)]^2̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅          q(x) ≠ 0 

*Derivada de una constante por la identidad: tenemos a la funcion f(x) ademas a "A" como constante entonces decimos que p(x) va a ser igual a la constante misma por la función, quedando de la siguiente forma.

p(x) = A . f '(x)

ejemplo: f(x) = e . x = e

nota(x equivale a 1 como ya vimos en la funcion de identidad).

a continuacion, veremos en estos dos videos un poco mas, sobre la introduccion a las derivadas

parte 1

 

 parte 2

Formas indeterminadas 0/0

En el area de la matemática se le denomina forma indeterminada a las expresiones algebráicas que poseen limites del tipo 0/0, ∞/∞, 1^∞, 0.∞, ∞^0, +∞-∞.

Existen dos formas de calcular este tipo de indeterminaciones la primera es mediante factorización y la segunda es la racionalización(esta ultima la usamos cuando en la expresión existen raices).

Factorización

  

 la factorización es la descomposición de una expresion matemática  en forma de multiplicación.

para el calculo de indeterminaciones mediante factorización se usan los siguientes metodos:

Factor común: basta con expresar dicho polinomio como el producto del factor común, por el resto de los terminos del polinomio encerrados entre parentesis.

ejemplo: b elevado a 2 + 2b = b(b+2)puesto que ambos terminos de estos tienen como factor comun "b".

Trinomio cuadrado perfecto: se identifica por tener tres terminos, de  los cuales dos tienen raices cuadradas exactas y el restante equivale al doble producto de las raices del primero por el segundo.

suma o diferencia de potencias a la "n":  la suma de dos números a la potencia se descompone en dos factores, siempre que "n" sea impar.

quedando de la siguente forma:
  
       para la suma: a^3 +b^3 = (a + b) (a^2 - ab  + b^2) 

      para la diferencia: a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab  + b^2) 


Diferencia de cuadrados: posee dos terminos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. 

Racionalización

 cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.

Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente.

Se pueden dar varios casos:

*Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

*Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa.

*Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n quecomplete una potencia de exponente n.

Propiedades de los límites

Las propiedades de los limites permiten calcular y estáblecer límites sin usar la definicion formal.
Estas son:

Límite de una suma 

Lim[f(x) + g(x)] = Limf(x) + Limg(x)
x->a                        x->a         x->a

Límite de una resta

Lim[f(x) - g(x)] = Limf(x) - Limg(x)
x->a                     x->a       x->a

Límite de un producto

Lim[f(x) . g(x)] = Limf(x) . Limg(x)
x->a                     x->a       x->a

Límite de un cociente 

Límite de una raíz

Límite del producto de una constante por una función

Lim k . f(x) = k . limf(x)
x->a                   x->a

Límite de una potencia 

Límite de una función constante 

Lim k = k
x->a

Límite de la función de identidad

Lim x = a
x->a

-ejemplo:

lim x = 8
x->8

Límites

Primero definiremos lo que es un limite en el area de la matemática; el límite es la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esta sucesión o función se hacercan a determinado valor.

En otras palabras: sea "F" una funcion definida en un intervalo abierto que contiene al punto "A" excepto posiblemente en el mismo punto "A" diremos que el límite de F(x) cuando "X" tiende a "A" es el numero "L" y escribiremos:

LimF(x) = L
x-->A

Si cuando "X" esta cerca de "A" pero sin llegar a ser "A"; F(x) esta cerca de "L", este número "L" puede o no existir, pero si existe es único.